El estudio de la curva de beneficios constituye uno de los mejores instrumentos la hora de analizar la evolución de una cartera sistemática. Los principales ratios, por muy prometedores que resulten, sólo proporcionarán una foto fija sobre el resultado final obtenido; nos hablan del punto de llegada, pero nada dicen del viaje recorrer ni de los avatares que habrá que sortear sobre la marcha.

En mi opinión, la capacidad de resistencia del trader -aún disponiendo de una cuenta suficientemente capitalizada- tiene mucho más que ver con lo escarpado del paisaje que con bellos castillos que se anillan como volutas de humo en el horizonte.

Al evaluar la curva de beneficios interesan, sobre todo, cinco cosas:

1.- Si el número de operaciones en que se sustenta es suficientemente representativo. Para ello, no hay nada mejor que realizar alguna prueba de significación, por ejemplo, el consabido test de Student. 

2.- Si la pendiente sobre la que pedalean los beneficios es más o menos lisa  o tremendamente abrupta. La aplicación de estadísticos basados en la regresión lineal, cómo el error estándar o el coeficiente de determinación podrán sacarnos de dudas.

3.- Cómo contribuyen los diferentes mercados/sistemas a suavizar la equity curve resultante. En este caso, un análisis correlacional entre las distintas series de operaciones será la opción más correcta para saber si nuestra cartera está suficientemente diversificada y si merece la pena añadir nuevos productos.

4.- Cómo responde la curva a la aplicación de estrategias de gestión monetaria. O sea, el eterno dilema de, si al ir aumentando los beneficios, es mejor añadir más contratos o mercados/sistemas a nuestro portfolio.

5.- Distribución de operaciones y curvas de probabilidad. Suponiendo que no existe dependencia entre operaciones. ¿Qué caminos plausibles elegirán los "Hados" con nuestra cuenta al barajar el mazo de cartas? Ya saben: Montecarlo y otras variantes del juego aleatorio.

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Cuando hemos realizado una prueba de backesting, o mejor aún, estamos empleando datos reales, siempre debemos considerar si el número de operaciones que componen la curva de beneficios es suficientemente representativo para considerar realistas los resultados. De otro modo: ¿A partir de cuantas operaciones podemos estar razonablemente seguros de que la curva resultante no es resultado del puro azar?

La respuesta a esta pregunta constituye un dilema de difícil resolución porque, como ya hemos dicho tantas veces, lo que cuenta es el binomio sistema / mercado. El sistema puede ser estable, pero el mercado no. Los rangos de volatilidad y los movimientos direccionales varían en las distintas marcoépocas haciendo que lo que funciona hoy deje de funcionar en el futuro. (De hecho, los estudios que realicé el año pasado sobre el Effective Range, muestraban con elocuencia porqué muchos sistemas ganadores, entre 1999 y 2002, no han dejado de perder dinero desde entonces).

En la medida en que las operaciones recojan un amplio espectro de los momentos alcistas, bajistas y laterales, además de los cambiantes niveles de volatilidad, podremos conceder más validez a la muestra. En general, cuantas más operaciones contenga la curva de beneficios, más realistas serán los resultados.

Por otra parte, cuando la curva esta formada por una pequeña cantidad de operaciones, no podemos esperar que su pendiente y suavidad (distancia entre picos y valles) se vaya a mantener durante mucho tiempo. Una forma de determinar lo próxima que está la distribución de operaciones a la normalidad es empleando el test de Student. Una distribución "T" se calcula considerando los grados de libertad (GL) que forman parte de la muestra.

• A) Una manera ingenua de calcular los GL es haciéndolos coincidir con el número de operaciones - 1.
• B) Otra manera, algo más elaborada, implicará tomar en consideración el número de restricciones condicionales que incorpora el sistema. En tal caso, cada regla es una restricción que deberemos restar de las operaciones.

Cuando en una serie no existe dependencia entre operaciones (situación habitual), el valor de "T" se puede calcular con la siguiente ecuación:

T = (Beneficio medio por operación / Desviación estándar)* RAIZ (nº operaciones)

El valor crítico de "T" necesario para obtener un nivel de confianza del 95%, está determinado por los grados de libertad.

En la siguiente tabla mostramos algunos valores:

Supongamos que disponemos de una secuencia de 130 operaciones y que el número de restricciones condicionales del sistema es de 10. En tal caso GL = 120, por lo que si el valor de que obtengamos de T, no está por encima de 1,65, entonces nuestro sistema no pasa la prueba.

Si queremos realizar estos cálculos de una manera más cómoda y completa, entonces recomiendo acudir una vez más a las estupenda herramienta MSA (Market System Analyzer) El siguiente ejemplo está tomado de una secuencia real de 250 operaciones, con un sistema intradiario aplicado al E-mini Russell 2000 que tiene 12 restricciones:

El resultado de aplicar el T-test ampliado se muestra en la siguiente ventana:

El tamaño medio de cada operación es de 167,81$, y en el "peor de los casos" (para un nivel de confianza del 95%) el tamaño medio caería hasta 84,91$.  Con estos datos, MSA me indica que la probabilidad de que la operación media sea mayor que cero es del 99,95%, por lo que la secuencia de operaciones empleada se considera significativa y, en este caso, el tamaño del equity curve supera con nota la prueba.

PELIGROS.- Los de siempre:

• Series obtenidas en backtesting.
• Optimización excesiva.
• Aplicación del sistema a un número pequeño de barras.
• No conocer las restricciones del sistema.

ESTADÍSTICAS BÁSICAS DE LA CURVA

Una de las maneras más sencillas de abordar la "calidad" de la secuencia de operaciones es realizar un análisis de regresión lineal. Interesa conocer la pendiente, el error típico y el coeficiente de determinación, tanto en la secuencia real de operaciones como en diferentes distribuciones aleatorias de las mismas.

Hace unas semanas recibí un correo de un amable lector que elogiaba algunos artículos publicados, pero me decía también que, al manejar algunos conceptos complejos, recordase que hay gente "que hace mucho que ha pasado por la escuela".  Bien, pues tomo nota e intentaré complacerle recordando algunos conceptos elementales: 

Supongamos un sistema ideal que gana 100$ en cada operación (Línea verde del gráfico):

Su pendiente es 100$ pero, como obtiene el mismo beneficio de manera continua, el error estándar (ES) = 0 y el coeficiente de determinación (R2) =1.  Aquí no hay riesgo y estamos apostando a caballo ganador.

Por desgracia, en el mundo real, desde el momento en que lanzamos al mercado nuestras primeras tablillas de apuestas, la curva de beneficios adoptará un contorno más o menos abrupto, oscilando en torno a una línea de regresión que, con suerte, tendrá pendiente positiva. Pues bien, aunque parezca sorprendente, el primer objetivo del gestor de una cuenta sistemática no es "ángulo de ataque" de la curva, sino la forma de conseguir un contorno lo más suave posible.

Veamos ahora la tabla de resultados de las tres líneas del gráfico:

Los tres sistemas consiguen un bonito resultado final de 2.000$  en 20 operaciones, deslizándose prácticamente por la misma pendiente de 100$ de beneficio medio. Ahora bien, aquí terminan todas las similitudes. El sistema S2 se aleja moderadamente del estimador lineal, arrojando un error típico de 188,91$ y mantiene un aceptable coeficiente de determinación de 0,92. ¡Ya quisieran muchos sistemas mostrar ese comportamiento en el largo plazo!. Por último, S3, evidencia un comportamiento errático (ET= 521,93) que dará lugar a drawdowns difícilmente soportables. De hecho, si sometemos dicha serie a una simulación de Montecarlo, existe una probabilidad superior al 30% de acabar en números rojos.

Tras realizar numerosas pruebas con diversas estrategias intradiarias y continuas combinadas en carteras de al menos seis sistemas /mercados, siempre llego a la misma conclusión: Sólo son sostenibles en el largo plazo, las estrategias de cartera que consiguen  coeficientes de determinación por encima de 0,9. Estoy convencido -aunque quien sabe, quizá sea demasiado conservador- de que cualquier solución por debajo de esta cifra dará más disgustos que alegrías, y no nos dejará dormir tranquilos muchos días de la semana. Y eso ¡no!. Yo al sueño le tengo muchísimo respeto.

Otro buen estimador para el Equity curve, popularizado por T. S. Chande en su libro "Beyond Technical Análisis",  es el Risk-Reward-Ratio:

RRR  = Pendiente de la curva / Error Típico.

Por ejemplo, en el sistema S2 de la tabla anterior es de 99,87 / 188,91 = 0,52. Cuanto más alto, mejor.

Vamos a construir, paso a paso, una sencilla hoja Excel que nos permitirá jugar con una amplísima tipología de curvas para analizar de manera más didáctica sus propiedades.

El modelo más simple que se me ocurre, tiene tres parámetros críticos:

• a) Capital inicial.
• b) Tamaño medio de las operaciones ganadoras.
• c) Tamaño medio de las operaciones perdedoras.

CONTRIBUCIÓN DE LOS SISTEMAS A LA SUAVIZACIÓN DE LA CURVA DE BENEFICIOS.