El siguiente y obligado apeadero en nuestro recorrido por las principales técnicas de posicionamiento estará dedicado a la metodología desarrollada por Ralph Vince para obtener una fracción óptima (Optimal F) del capital a arriesgar en cada posición que maximice el crecimiento de la curva de beneficios.

N = F * Equity / Trade Risk

El problema, por tanto, radica en la determinación de la "F" o porcentaje del capital que queremos arriesgar para obtener un crecimiento progresivo del equity curve que satisfaga las condición de mantener el riesgo de la operativa en niveles razonables para el tamaño de la cartera y confortables para el trader. Para conseguir, esto tenemos varias alternativas:

1) Asignar siempre una fracción fija e inamovible del capital (por ejemplo el 2%); con el inconveniente de que esta cifra quedará siempre al arbitrio del trader y no guardará ninguna relación con otras propiedades inherentes al binomio sistema / mercado. 

2) Deducir el porcentaje a arriesgar (F) del riesgo de ruina (RoR), tal y como ya vimos en el artículo anterior. Si bien, esta estrategia resultará para muchos arbitraria (cuando se aceptan RoRs por encima de cero) o extremadamente conservadora (cuando se busca como objetivo diana la fracción que minimice el RoR).

3) Exprimir el potencial de la estrategia MM al máximo para obtener el valor de ‘F' que consiga la media geométrica más alta en secuencia de operaciones. Y aquí encontramos estas dos alternativas clásicas:

• Formula de Kelly:

Conocidas la esperanza matemática o trading advantage (TA) y el ratio entre operaciones ganadoras y perdedoras (W/L) y asumiendo que el tamaño de perdidas y beneficios se mantiene invariante en toda la secuencia, tenemos:

F óptima = TA / ratio W/L

Desde luego, con esta solución se obtiene una media geométrica con potencial máximo. Pero el problema, obviamente, está en que la segunda condición solamente se verifica en algunos juegos de azar. En el trading, lo normal es encontrar series de pérdidas y beneficios muy heterogéneas. Por ello, esta solución no es fiable.

Al parecer -y aunque cueste trabajo creerlo- Larry Williams utilizó esta fórmula en su memorable hazaña de catapultar (en el bello escenario del World Cup Trading Championship, 1987) una cuentecilla de 10.000$ hasta la cima de los 2 millones; si bien, luego, su beneficio se desplomó hasta los 1,1 M.  En una entrevista realizada por Chuk Frank (Secrets of the World Cup Advisors, Marketplace Books, Columbia, 2004, pág., 196) el propio Larry, al ser preguntado por la técnica de MM empleada, describe el uso de la fracción de Kelly con las siguientes palabras:

<<Estaba empleando algo llamado ‘fórmula de Kelly' que, luego, popularizó Ralph Vince. Encontré la fómula de Kelly en un pequeño libro sobre blackjack (...) La fórmula es muy agresiva e incrementará exponencialmente el número de contratos con que se opera mientras se gana; así verás que nosotros pasamos de 1 lote a 30 rápidamente. Pero cuando se pierde dinero, se produce un fuerte retroceso. Actualmente uso una variante de esta formula en mi operativa.>>

Pongamos un ejemplo:

Mi flamante sistema AK-47 (lo llamo así porque va como un tiro) tiene una esperanza matemática de 0,2 y un ratio W/L de 1,7. Si en una serie larga, mi peor operación ha sido de -2.000€ y, actualmente, el capital de faena asciende a 80.000€

¿Cuántos contratos puedo comprar en la siguiente operación según la fórmula de Kelly?

F óptima = 0,2 / 1,7 = 11%

N = 0,11 * 80.000 / 2.000 = 4 contratos.

• Optimal F:

La solución propuesta por R. Vince (Portfolio Management Formulas, Willey & Sons, New York, 1990) para maximizar la media geométrica partiendo de un escenario en que los beneficios y pérdidas tienen diferentes tamaños, resulta algo más complicada y exige realizar cálculos iterativos para cada nueva operación. Con todo, una sencilla hoja de cálculo (como la que encontrarán en la sección de descargas) servirá para jugar un rato con la fracción de Vince y realizar algunas simulaciones.

Respecto a su formulación matemática, trataré de ser muy breve. Vince parte de dos conceptos:

- HPR (holding period return), que es factor de retorno para cada operación. Por ejemplo, para una ganancia del 3%, HPR = (1+3/100) = 1,03, y para una pérdida del 3%, HPR = (1-3/100) = 0,97.

- TWR (terminal wealth relative) o riqueza relativa final de todos los HPRs:

TWR = ( HPR₁ * HPR₂ *  ... * HPR_n)

Siendo la media geométrica (GM) de la serie:

GM = TWR^1/n

Si queremos encontrar un valor óptimo de F, entonces necesitamos una fracción (f) para cada operación que maximice el valor de la media geométrica, con lo que tenemos:

TWR(f) = (HPR(f)₁ * HPR(f)₂ * ...* HPR_n(f))

y

HPR(f) = (1+f*PL/R)

Siendo:

(f) = fracción apostada.
PL = (profit / loss), ganancia o pérdida neta de cada operación.
R = (Risk factor), por ejemplo la peor operación de la serie.

Veamos todo esto con un pequeño ejemplo:

• Secuencia P/L de cuatro operaciones: 250, -300, -50, 400
• Valores de (f): 5%, 10%, 20% ... 100%
• R = ABS (-300)

TWR (5%) = (1+0,05*250/300) * (1+0,05*-300/300) * (1+0,05*-50/300) * (1+0,05*400/300)  = 1,036

GM = TWR^1/n =  1,036^1/4 =  1,014

TWR (10%) = 1,079

TWR (20%) = 1,127

TWR (30%) = 1,159

TWR (40%) = 1,142

TWR (50%) = 1,079

TWR (60%) = 0,97

TWR (70%) = 0,805

TWR (80%) = 0,596

TWR (90%) = 0,327

TWR (100%) = 0

Como pueden ver en este pequeño ejemplo, con una f = 30% se obtiene el mejor TWR, el cual maximiza también el valor de la media geométrica (GM = 1,0607) y, en consecuencia, el crecimiento de la curva de beneficios.

Ahora bien, aunque esa ‘F' sea óptima desde el punto de vista del incremento del equity curve, ¿qué ocurre con el riesgo a medida que aumentamos el valor de la fracción de capital apostado?

Para responder a esta pregunta, vean antes el siguiente gráfico:

La curva representa el incremento / decremento de la ganancia potencial de un sistema para diferentes valores de la variable F. El vértice de la curva es la fracción óptima. Todos los puntos a la izquierda de la campana indican la ganancia progresiva de los beneficios para distintas fracciones de capital. También pueden observar que el sistema emulado tiene esperanza positiva, al encontrarse cada valor por encima del nivel TWR = 1. En teoría, la zona segura (con riesgo de ruina , RoR < 0,01) se sitúa hasta el nivel  del 15%. En el punto de inflexión (f = 19%), en RoR del sistema llegó hasta 0,059 (aceptable, aunque con muchas tragaderas). La parte derecha constituye la pendiente negativa; el precipicio o sima del que hay que huir como alma que lleva el diablo. Representa los niveles en los que incrementando ‘f' ya no se obtiene ningún beneficio adicional mientras que el riesgo se dispara encendiendo todas las alarmas. Cuando F llega, en este caso al 69%, entonces RoR =1. O sea, griten con todas su fuerzas: ¡Game over! Fin de la partida.

 Los datos han sido obtenidos mediante una serie sintética de 100 operaciones distribuidas aleatoriamente, tomando como base los parámetros ratio W/L y % Win (La hoja "Optimal F.xls" les permitirá simular otras series de operaciones variando los valores de ambos parámetros, o introducir, manualmente, la serie P/L de 100 operaciones reemplazando los valores de las celdas B32:B131). La hoja también mostrará una tabla con los estos datos:

 En las celdas "C4" y "C5" deberá introducir los valores del ratio W/L y %Win, únicos datos que necesita la simulación. La F óptima de la serie sintética aparece en la celda "C8". Observará que, en algunos casos, esta se sitúa incluso por encima de la F. de Kelly (celda C14). El Riesgo de ruina aparece en la celda "C13" y varía siguiendo el valor de la fracción óptima. Por último, señalar que la esperanza matemática (celda C12) el valor de Kelly (C14) no varían al ‘randomizar' la secuencia de ‘trades', ya que se calculan a partir de los parámetros ratio W/L y %Win.

Como se trata de una distribución aleatoria de operaciones, que describe el curso que podría seguir la secuencia P/L (para un ratio W/L y un %Win determinados) al pulsar la tecla "F9" obtendremos nuevas combinaciones de operaciones -en teoría, igualmente probables- que satisfacen las condiciones de partida.

La situación es simular a esta:

Donde cada curva representa los recorridos, igualmente plausibles, que tomará el equity curve para unas condiciones iniciales dadas.

Este es un motivo (pulsen en la hoja F9 muchas veces y lo comprobarán) por el que considero que la F óptima es un billete probable hacia la ruina: El trade risk y la evolución dinámica de la serie P/L se calculan en base a datos pasados. No existe garantía alguna de que esta situación permanezca más o menos homogénea en el futuro. Quizá, calculando la fracción óptima para cada nueva operación queda parcialmente resuelto el tema; pero aún así, seguiremos trabajando sobre el vértice de la "campana", en una zona de riesgo elevadísimo. Intolerable, para cualquier gestor profesional.

Otro problema a tener en cuenta es el de las garantías necesarias para seguir incrementando contratos. En nuestro estudio sobre el método Fixed Ratio, de Ryan Jones, vimos que esta estrategia tenía la ventaja de que el balance necesario para incrementar posiciones crecía en proporción geométrica, mientras que el margen por contrato aumenta aritméticamente. Por lo que, eligiendo un capital inicial adecuado, estábamos desde el comienzo libres de este problema. Pero con la F óptima no ocurre lo mismo. Veamos un ejemplo:

Supongamos un sistema con una F óptima del 30% y un trade risk de -1.200€. En tal caso, podemos calcular el dinero necesario para incrementar posiciones del siguiente modo:

F Óptima en euros = R / F = 1.200 / 0,3 = 4.000€

Esta será la cantidad, según la fórmula de Vince, que nuestro sistema debe ganar para aumentar en un contrato el tamaño del posicionamiento. Lógicamente, si las garantías exigidas en determinado producto son mayores que esa cifra, no nos queda otra que reducir el valor de la F óptima hasta situarlo por debajo de las garantías. De nada servirá aumentar el capital inicial, pues en pocos incrementos estaremos nuevamente con el mismo problema. Resumiendo, el valor monetario de la F óptima, en la práctica real, encontrará su cima (con independencia de lo que diga la fórmula de Vince) en el punto en que iguale el valor de las garantías exigidas. Y esto, lógicamente, contraviene la bella y cautivadora idea de maximizar el crecimiento de la media geométrica.

Al calor de este pretendido crecimiento exponencial de los beneficios, algunos autores se empeñan en afirmar que, incluso con un sistema mediocre, con leve esperanza matemática, bastará para obtener resultados sorprendentes al aplicar la fracción de Vince. Pero este razonamiento, a quienes llevan bastante tiempo empleando la operativa sistemática como estrategia inversora no cautiva demasiado, y con razón. Consideren que es un hecho fuera de toda duda que todos los sistemas se degradan con el tiempo y, desde luego, los que se asientan en una esperanza mediocre, más deprisa todavía. Por tanto, aplicar la fracción óptima resultará un billete casi seguro hacia la ruina. Ante esta situación, son muchos quienes apuestan por una F segura, muy por debajo de las expectativas de un crecimiento ‘matemáticamente' óptimo.

Veamos algunas alternativas:  

- Optimal F al 10% de la fracción óptima. Desconozco el motivo por el que diversos autores eligen este valor como coeficiente reductor de la fracción de Vince. En realidad, podríamos elegir cualquier valor con el que nos sintiésemos confortables. Personalmente, no me gusta establecer valores ad hoc sin ningún motivo claro, por lo que prefiero vincular la barrera de seguridad a otras magnitudes fundamentales, como aquellas que maximicen el profit-factor o el Ratio de Sharpe, o el cociente retorno-DD máx.

- Secure F.- Esta es la solución elegida por Stendahl y Zamansky (1998) en su artículo "Secure Fractional Money Management" (Stocks and Commodities, V. 16:7, pp. 318-323). Básicamente, se trata de limitar el valor de F a un nivel de drawdown consecuente con nuestro nivel de aversión al riesgo. Esto se obtiene, como luego veremos, aplicando un proceso iterativo a diferentes valores de F que satisfagan un valor diana para el DD, o mejor aún, que permita obtener un valor del ratio Retorno / DD aceptable.

- Montecarlo Secure F.- Aproximación del valor idóneo de F mediante una simulación de Montecarlo al 95% de confianza; añadiendo, adicionalmente, en el proceso de búsqueda alguna limitación en el valor del DD máx. Aunque esta es la opción más compleja (y, obviamente, resulta imposible de calcular sin un software específico) resulta, a mi juicio, la que mejores garantías ofrece.

 

ESTUDIO DE CASO: Cálculo de las distintas variantes de la fracción óptima empleando el programa Market System Analyzer (MSA).

Partimos de un sistema intradiario aplicado a futuro del Bund con las siguientes estadísticas:

Y cuya curva inicial de beneficios muestra el siguientes aspecto:

Nuestro siguiente paso será establecer el modelo de riesgo que se empleará para calcular la F óptima. Para ello, en la barra de menú, seleccionamos la opción: Trades > Specify Trade Risk:

Las dos posibilidades más recomendadas son, seleccionar el valor de la peor operación de la serie P/L o añadir a la pérdida media "x" desviaciones estándar. En este caso optaremos por la primera alternativa; con lo que el valor de R = 572,67€.

Hecho esto, nos vamos al menú: Analysis >  Position Sizing... y elegimos el método "Optimal F", en el formulario del método nos saldrá automáticamente el valor de F, en este caso verdaderamente descomunal: 59,56%. Sólo nos queda picar en el botón "Aceptar" para ver el gráfico resultante:

Como ven, una curva monstruosa y extravagante que no merece ninguna consideración. ¡Y eso que se ha limitado el número máximo de contratos a 50.000! ¿Qué está chirriando? El DD. máx. alcanzado por este sueño delirante es del 93,6%. (...Venga, ¿quién es el valiente?) Pero el verdadero problema es que no se han tomado en consideración las garantías exigidas.

Vamos a ir poniendo, poco a poco, las cosas en su sitio. Comencemos por establecer capital inicial y garantías. Pulsando F2 accedemos al siguiente formulario:

Fijamos el capital inicial en 5.000€ y establecemos como "margen inicial por contrato" el valor de 3.000€ (aunque el broker exija menos, siempre conviene añadir algo más, como medida adicional de seguridad). Los slippages y comisiones los dejaremos en "0" si ya están incluidos en la secuencia de operaciones introducida en MSA. En caso contrario, deben especificarse aquí.

Bien, pues veamos qué ocurre:

Ahora la curva de beneficios se ha moderado mucho más. Regresamos lentamente al reino de lo posible, aunque todavía queda mucho camino. El número máximo de contratos se reduce hasta 282 y el beneficio en las 448 operaciones cae por debajo del millón. El DD. máx. también se ha rebajado bastante, situándose en el 71,2%. Con todo, los resultados siguen siendo poco realistas, por lo que procedemos a dar una nueva vuelta de tuerca. Ahora le toca el turno a los mecanismos de reducción del valor de F mediante las estupendas herramientas para optimizar el tamaño de la posición que incluye MSA.

Para optimizar el valor de F, debemos seleccionar el método Fixed Risk / Fixed Fractional. Hecho esto, y tras pulsar la tecla "F7" entramos en siguiente formulario de optimización:

Lo primero será elegir el criterio de optimización. De los 7 disponibles, para un enfoque conservador los tres mejores son: Profit factor, Mod. Sharpe Ratio y Return-Drawdown ratio, elegimos  este último. El DD máximo también podemos limitarlo a un valor determinado (esto, si se dan cuenta, nos permitirá emular elegantemente la propuesta "Secure F" de Stendahl y Zamansky), en este caso lo he fijado en el 20%. Con esto, le estoy diciendo al simulador que no considere ninguna solución por encima de dicho valor. Por último, seleccionaremos la opción "exahustive search" para forzar al programa a realizar un análisis completo.

En pocos segundos, veremos los mejores resultados en la parte inferior del cuadro. Como ven en la imagen superior, en este caso la fracción óptima se reduce hasta el 14,2%. Con este valor se obtiene el mejor ratio Retorno-DD para un DD máx. (19,86%) ya mucho más contenido.

Veamos el gráfico del equity curve:

Esto ya va resultando más razonable. Aún así, el número de contratos me sigue pareciendo excesivo, debido a un porcentaje a arriesgar por operación que, pese a ser ya mucho más manejable, todavía se encentra a bastante distancia de lo que sería recomendable para una gestión conservadora. De todas formas, y para salir de dudas, vamos a ver si este modelo de posicionamiento (F = 14,2%) resiste una simulación de Montecarlo.

En el formulario anterior, seleccionamos la opción "Optimize using... Monte Carlo Analysis" (y nos armamos de paciencia, pues esta vez el proceso iterativo tardará bastante más tiempo). Transcurridos unos 10 minutos, aparece el siguiente mensaje:

¡Mal asunto! El simulador no encuentra soluciones viables para un DD tan bajo. Lo cual, en cierto modo, es normal; ya que cualquier simulación de Montecarlo, a un nivel de confianza suficientemente fiable, tiende a  empeorar bastante los resultados de cualquier sistema, dando así un toque de realismo a nuestras expectativas sobre su evolución en el futuro (..precisamente para eso hacemos estas simulaciones).

Probamos nuevamente con un límite mayor para el DD., y esta vez sí hay suerte. Estas son las estadísticas:

Con una fracción óptima más contenida: 13,45% obtenemos resultados todavía muy aceptables (como se muestra en el gráfico inferior) para un DD máximo del 27,03%. Más alto, pero todavía soportable.

El incremento del número de contratos, más pausado y "realista", proporciona estos resultados:

¿Todavía demasiado buenos para ser ciertos? Sin duda. Pero ya saben, en el reino de las simulaciones todo es posible.

Andrés A. García.

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